Polär form

Nu ska vi titta vad komplexa tal på polär form är för någonting. Tidigare ar vi beskrivit ett komplext tal som exempelvis z = a + bi som en punkt i det komplex talplanet, där punkten (a, b) precis är realdelen av z respektive imaginärdelen av z. De här koordinaterna kallas för rektangulära koordinater, och det vi ska göra nu är att titta på vad polära koordinater är för något, och hur man kan använda det för att beskriva det komplexa talet z i polär form. Då börjar vi precis som tidigare med att beskriva det här komplexa talet z med en vektor som vi drar från origo och som pekar precis på den punkten med de rektangulära koordinaterna a + b. Den här vektorn kan också illustrera talet z = a + bi, och som tidigare har vi sett att längden på den här vektorn som vi kan beteckna som absolutbeloppet av z, kan vi beräkna genom att dra roten ur a² + b² (Bild 1). Men nu ska vi kalla den här längden för r istället, så längden på vektorn är lika med r. Sen gör vi en rätvinklig triangel genom att dra en linje som betecknar höjden från vektorns spets. I den rätvinkliga triangeln så får vi en vinkel v. Höjden på triangeln betecknas a och bredden på triangeln betecknas b. Nu ska vi titta på vinkeln v och ge den ett nytt namn, den kallar vi för argumentet för det komplexa talet z som man förkortar genom att skriva v = arg z. Det man syftar till då är den vinkel v som bildas mellan vektorn z och x-axeln. Den här vinkeln ska mätas i radianer om inget annat anges.

Bild 1: Skillnaden mellan rektangulära och polära koordinater.

Nu ska vi titta vidare på den här triangeln och ur den figuren se att vi kan få trigonometriska samband. Det första sambandet är att vi tittar på tangens för vinkeln v. Vi kan nämligen bestämma den om vi vet vad b och a är. Tangens för vinkeln v blir ju motstående katet b genom närliggande katet a.

Bild 2: Tangens för vinkeln v.

Sen ska vi titta på cosinus för vinkeln v (Bild 2) som då blir närliggande katet som då är a dividerat på hypotenusan som var längden på vektorn, som var absolutbeloppet av det komplexa talet z, men vi har kallat det för r. Vi får således a dividerat på r, men ur detta löser vi ut koordinaten a som då blir a = r * cos v, som då är argumentet för z.

Bild 2: Cosinus för vinkeln v.

Slutligen kan vi ur triangeln få fram att sinus för vinkeln v (Bild 3) som är motstående katet b genom hypotenusan som är r. Ur det här kan vi också få fram att koordinaten b som ju motsvarar imaginärdelen för z, blir r * sin v.

Bild 3: Sinus för vinkeln v.

Det vi ska lägga märke till är att de rektangulära koordinaterna a och b nu istället kan beskrivas med r som är vektorns längd och vinkeln v. R och v är gemensamt för både a och b, vi har cosinus för a och sinus för b, men då har vi fått fram det som kallas för polära koordinater, eftersom a kan bestämmas av r och v och detsamma gäller för b. Just r som motsvarar vektorns längd är den första polära koordinaten, och den andra blir vinkeln v som vi hittar mellan reella axeln och vektorn (Bild 4). De här kallas för polära koordinater.

Bild 4: De polära koordinaterna r och v.

Det här gör nu att vi kan bestämma talet z = a + bi i polärform (Bild 5). Nu ersättert vi a med r * cos v och vi ersätter b med r * sin v, och så ska vi lägga till ett i där bakom, för det var ett komplext tal. Då har vi fått ett nytt sätt att beskriva det komplexa talet z genom att använda längden på vektorn r och vinkeln v. Vi kan gå vidare ett steg och bryta ut r eftersom det är gemensamt i de två termerna, z = r * (cos v + i sin v). Detta är således talet z beskrivet i polär form.

Bild 5: Bestämning av talet z = a + bi i polär form.

Definition:

Om vi vill bestämma talet z = a + bi i polärform i stället, och med det menar vi att vi ska använda vinkeln v och r istället för att beskriva det här komplexa talet z, så kan vi göra det genom att säga att z = r * (cos v + i sin v) (Bild 6). På motsvarande sätt får vi konjugatet till z som är r * (cos v - i sin v). Men vi måste också tala om hur vi får fram r, där r är längden på vektorn och vi måste också tala om att vinkeln v är argumentet för z, dvs. vinkeln v som vi hittade mellan reella axeln och vektorn. Vi såg det genom  att vi kunde få fram det genom att ta tangens för vinkeln och säga att det är lika med b dividerat med a. Då har vi allt på plats för att kunna bestämma komplexa tal i polär form.

Bild 6: Definition av talet z = a + bi i polär form.

Exempel på hur vi bestämmer ett komplext tal i polär form

Om vi exempelvis vill bestämma talet z = 2 + 3i i polär form (Bild 7), kan vi först titta på hur det ser ut i rektangulära kordinater. Realdelen ska således vara 2, dvs. två steg ut från origo åt höger i det komplexa talplanet, samt tre steg uppåt längs imaginära axeln. Då hittar vi den rektangulära punkten som kan beskrivas som kan beskrivas med koordinaterna (2, 3) som rektangulära koordinater. Drar vi nu en vektor upp till den punkten så bildas det en rätvinklig triangel, och då hittar vi r som en polär koordinat som längden på vektorn och v blir vinkeln mellan vektorn och den reella axeln. För att beskriva det här i polär form så måste vi först bestämma r, som då är absolutbeloppet av z, dvs. som (2² + 3²)^1/2 = 13^1/2 (roten ur 13). Ur figuren kan vi också bestämma att vinkeln v blir tangens för vinkeln, tan (motstående katet / närliggande katet) = 3 / 2, och ur det kan vi få fram att vinkeln v = tan^-1 (3 / 2), vilket är ungefär 0,983 om man slår det på miniräknaren. Talet 0,983 anges i radianer om inget annat anges. Då har vi allt för att kunna beskriva talet z i polär form som blir z = 13^1/2 (cos 0,983 + i sin 0,983), och då är det klart.

Bild 7: Exempel på bestämning av talet z = 2 + 3i i polär form.

Nedanstående YouTube-klipp förklarar ingående komplexa tal på polär form