Komplexa tal-repetition

Nu ska vi titta på de komplexa talen och vad det är för någonting, men först titar vi på en andragradsekvation som vi har löst med pq-formeln. Den här andragradsekvationen får de två lösningarna x₁ = - 1 och x₂ = 3 (Bild 1), vilket inte är något konstigt.

Bild 1: Exempel på en andragradsekvation med två lösningar.

Däremot finns det andra ekvationer där vi har fastnat och inte kommit vidare till någon lösning. Den ekvationen vi ser nedan (Bild 2) är just en sådan ekvation. Om vi löser den med pq-formlen så kommer vi att landa i att vi ställs inför att dra roten ur ett negativt tal. När vi har kommit hit så har vi tidigare sagt att ekvationen inte har några reella lösningar och vi har sagt att ekvationen helt och hållet saknar lösningar då. Men nu så ska vi se om vi kan förenkla det här och utveckla detta ytterligare. När det gäller rottecknet med - 4 så finns det en potensregel som säger att om vi bara tittar på rottecknet där det står roten ur - 4, så kan vi skriva om det här till en produkt som är 4 * (- 1) under rottecknet, och 4 * (- 1) är precis - 4. Nu finns det en potensregel som i sin tur säger att det här kan vi skriva om som roten ur (- 4) * roten ur (- 1). När vi tar roten ur en produkt kan vi dra roten ur varje faktor var för sig. Roten ur 4 är lika med två och så har vi roten ur - 1, men så kommer vi inte längre. Men vi ser att vi i alla fall kan skriva om det som x = +/- 2 * (roten ur - 1). Här kommer vi ändå inte längre trots att vi gör den här omskrivningen. Så vi har ett problem.

Bild 2: Exempel på andragradsekvation som inte ger några reella lösningar.

Problemet består i att vi försöker dra roten ur ett negativt tal, i det här fallet roten ur - 1. Det vi egentligen letar efter är ekvivalent med att vi försöker hitta ett tal som gånger sig självt är lika med - 1. Men för att produkten ska bli - 1 så måste det ena talet vara positivt och det andra talet negativt, och då ser vi direkt att det här är två helt olika tal. Så vi försöker lösa ett problem som egentligen är olösligt. Men det nu man gör så här att man inför ett nytt tal och då menar vi verkligen ett helt nytt tal. Det här nya talet har just den egenskapen som vi försöker lösa eller komma fram till, vi hittar nämligen på ett tal  som har egenskapen att när vi tar det talet gånger sig självt så blir produkten - 1. Det här nya talet har man gett namnet i och i kommer från att det här talet är ett imaginärt tal, ungefär som ett fantasi tal eller ett hittat på tal. I gånger i som vi kallar det nya talet kan vi skriva som i² och det har egenskapen att tar man det gånger sig själv så blir det - 1. Vill vi veta vad talet i är så tar vi roten ur båda sidorna och får då på höger sida roten ur -1. Det nya talet i har alltså den egenskapen som vi letar efter, dvs. att roten ur -1 är lika med i.

Bild 3: Det imaginära talet i.

Då kan vi skriva om rötterna till den ekvation som vi fastnade på tidigare genom att skriva om rötterna som 1 +/- 2 * i, där i är det nya talet. Då får vi två stycken lösningar (Bild 4) till den här ekvationen där den första lösningen är att x₁ = 1 + 2i och x₂ = 1 - 2i.

Bild 4: Imaginära lösningar till den tidigare olösliga andragradsekvationen.

Men då kan man fråga sig vad är det här för någonting vi har fått fram här nu? Vi har fått fram två helt nya typer av tal och frågan är hur de här talen förhåller sig till varandra? Om vi jämför med de lösningar som vi hittade till den andragradsekvation som gick att få fram lösningar till vet vi allting om och hur de förhåller sig till varandra. Om vi tittar på en tallinje där vi har -1 och 3 markerade kallas de för reella tal och hur de förhåller sig till varandra vet vi sedan tidigare, dvs. talet 3 befinner sig 4 positioner ytterligare från talet - 1. Men hur ska vi betrakta de nya talen? För att ge detta någon form av tolkning eller någon form av innnebörd ritar man en ny linje (Bild 5), men det är ingen tallinje, utan det här är en linje som innehåller de imaginära talen. Det första strecket utgör det imaginära talet i som är lika med roten ur - 1. Nästa streck blir således 2i på den imaginära linjen och respektive -i och - 2i åt motsatt håll på linjen. Så det vi gör är att vi utvidgar tallinjen till att bli ett plan där vi också har den imaginära axeln där vi kan rita in de nya imaginära talen.

Bild 5: Det komplexa talplanet.

Det här innebär att x₁ = 1 + 2i består både av ett reellt tal (1)och ett imaginärt tal (2i) som vi hittar på de respektive axlarna i planet. Det innebär att i skärningspunkten mellan de här två axlarna nu så hittar vi just det imaginära talet 1 + 2i som en punkt i det här talplanet. Det här talplanet kallas för ett komplext talplan. Vi var ju nyfikna på hur de här talen förhöll sig till varandra och den andra lösningen 1 - 2i hittar vi på motsvarande sätt. De bägge lösningarna x₁ och x₂ är sammansatta av en reell del som är ett vanligt tal och en imaginär del och tal som är sammansatta av en reell del och en imaginär del kallas för ett komplext tal, som betyder just sammansatt. Allmänt kan vi skriva att de komplexa talen som man brukar ge namnet z för att det är ett komplext tal, skriver vi som z = a + bi, där a är den reella delen och b är den imsginära delen av talet z (Bild 6). De komplexa talen kan vi tolka som punkter i det komplexa talplanet, och det gör att vi kan lösa alla andragradsekvationer. Hittar vi vanliga lösningar så finns dessa längs den reella axeln, och är det en lösning som innehåller imaginära tal så hittar vi lösningarna som punkter i det komplexa talplanet.

Bild 6: Det komplexa talet z allmänt skrivet med reell respektive imaginär del.

Nedanstående YouTube-klipp förklarar ingående repetition av komplexa tal z = a + bi, där a är den reella delen och b är den imaginära delen av talet z