Eulers formel

Nu ska vi titta på ett samband som upptäcktes på 1700-talet och som kallas för Eulers formel, och det handlar om hur komplexa tal kan beskrivas med talet e. Vi börjar med det komplexa talet z = cos v + i sin v som ligger någonstans på en cirkel i det komplexa talplanet, där radien på den här cirkeln är 1. Det innebär att talet z kan illustreras med en vektor z där v är vinkeln eller argumentet och den har längden 1. Om vi tittar på det komplexa talet z = cos v + i sin v och deriverar det med avseende på vinkeln v (Bild 1) får vi z^' = - sin v + i cos v. Det här kan vi nu skriva om til i cos v + (- 1)* sin v.

Poängen med detta är att - 1 kan utnyttjas som det imaginära talet i² , vilket kan skrivas som i cos v + i² * sin v. Då kan vi faktiskt bryta ut i ur båda termerna och får slutligen i * (cos v + i sin v). Det vi nu ser är att upp dyker cos v + i sin v som är precis talet z som vi hade från början. Alltså kan vi skriva om derivatan till z som i * z. Slutsatsen blir då att om vi tar talet z och deriverar det så blir det z^' = i * z, vilket är en differentialekvation som har lösningen att i så fall är talet z = e^iv .

Bild 1: Derivering och omskrivning av det komplexa talet z = cos v + i sin v.

Att den här differentialekvationen har den lösningen kan vi testa genom att derivera z (Bild 2), dvs. i * C * e^iv = i * z. Om vi nu frågar oss vad konstanten C är så kan vi utnyttja att z (0), alltså om v är noll får vi C * e^io = C.

Bild 2: Test av differentialekvationens lösning genom att derivera det komplexa talet z.

Men vi vet att z (0) skrivet på polär form blir cos 0 + i sin 0 = 1 + i * 0 =1, som i sin tur är konstanten C. Då har vi fått fram en slutsats.

Om talet z i polär form är cos v + i sin v, så kan det skrivas som e^iv (Bild 3) . Då har vi en väldigt kompakt form för att beskriva det poläratalet C. Detta samband kallas Eulers formel.

Bild 3: Eulers formel.

Vi ska göra några anmärkningar innan vi fortsätter, Eulers formel beskriver hur vi går från polär form till exponentiell form. Det vi inte tog upp det var vad som händer om vi har ett absolutbelopp, exempelvis r = (cos v + i sin v) (Bild 4). Vill vi beskriva det här i exponentiell form är det enda som händer att r multipliceras med e^iv , eftersom cos v + i sin v = e^iv . Vi ska också se vad som händer om z är på rektangulär form, exempel z = x + iy som jag vill beskriva med Eulers formel på exponentiell form, dvs. vi ska ha e^z i stället, vilket blir att e^z = e^x+iy = e^x + e^iy (y är vinkeln för det komplexa talet). Då säger Eulers formel att e^iy = (cos y + i sin y), men så har vi kvar e^x, så vi får att e^x * (cos y + i sin y).

Bild 4: Eulers formel om det finns ett absolutbelopp vid omskrivning från polär till exponentiell form.

Vi ska titta på två exempel direkt. Vi ska gå från exponentiell form där e upphöjs till 3 pi, dividerat med 4 gånger i, och då kan vi skriva det i rektangulär form a + bi (Bild 5). Då kan vi direkt rita in den här koordinaten i det komplexa talplanet. Vi använder således Eulers formel e^iv = cos v + i sin v, där vi alltså gått baklänges. Det här ger i så fall i vårt fall att e upphöjt i 3 pi dividerat på 4 gånger i ger cos 3 pi / 4 + i sin 3 pi / 4 = - 1 / 2^1/2 + i 1 / 2^1/2 . Då har vi gått från polär form till rektangulär form.

Bild 5: Exempel på omskrivning från polär till rektangulär form med hjälp av Eulers formel.

Det komplexa talet e^2-3i som vi också ska skriva om på forman a + bi (Bild 6), skriver vi med hjälp av Eulers formel om till e² * e^-3i . Då har vi använt oss av potenslagarna. e² behåller vi men e³ⁱ skriver vi om med Eulers formel till (cos (- 3) + i sin (- 3)). Vi får då att e² * (cos (- 3) + i sin (- 3)) = - 7,32 + (-1,04)*  = - 7,32 - 1,04 i. Då har vi skrivit om från exponentiell form till den formen vi känner igen och med det kan vi säga vad det här betyder, nämligen det här kan vi rita in i det komplexa talplanet, dvs. 7,32 steg i reella minusriktningen och - 1,04 steg nedåt utefter den imaginära axeln. Vi har således det komplexa talet e^2-3i som är en koordinat i tredje kvadranten.

Bild 6: Exempel på omskrivning från polär till rektangulär form med hjälp av Eulers formel.

Nedanstående YouTube-klipp förklarar ingående Eulers formel.