de Moivres formel

Nu ska vi titta på de Moivres formel. Vi ska börja se vad den säger (Bild 1), sedan ska vi ta ett exempel, och slutligen hur man kommer fram till den. de Moivres formel hör ihop med komplexa tal och den säger att om z är ett komplext tal i polär form där r gånger cosinus för vinkeln v plus i gånger sinus för vinkeln v, där absolutbeloppet av z är lika med r och vinkeln v är lika med argumentet för z. Då säger de Moivres formel att i så fall är z upphöjt till ett tal n lika med r gånger cosinus för vinkeln plus i gånger sinus för vinkeln upphöjt till n. De Moivres formel säger att i så fall är det här lika med absolutbeloppet upphöjt i n multiplicerat med cosinus för n gånger vinkeln v, plus i gånger sinus för n gånger vinkeln v. Variabeln n kan vara 0, + 1, - 1, + 2, - 2 ...osv.

Bild 1: de Moivres formel.

Vi ska direkt se ett exempel på hur det kan användas (Bild 2). Om vi har det komplexa talet z som i polärform är lika med 2 gånger cosinus för pi tredjedelar plus i gånger sinus pi tredjedelar, så kommer z upphöjt till exempelvis 8 att vara lika med 2 upphöjt i 8 multiplicerat med cosinus gånger 8 gånger pi tredjedelar plus i sinus gånger 8 pi tredjedelar.

Bild 2: Exempel på utveckling av de Moivres formel.

Vi gör en anmärkning, och det är att argumentet brukar anges mellan 0 och 2 pi eller 360 grader. Det gör att vinkeln 8 gånger pi tredjedelar vrids tillbaka 2 pi eller 360 grader (Bild 3).

Bild 3: Argumentet brukar anges mellan 0 och 2 pi, och måste här vridas tillbaka 360 grader.

I så fall är det här lika med 2 upphöjt i 8 som är 256 gånger cosinus för argumentet 2 pi tredjedelar, plus i gånger sinus 2 pi tredjedelar, och då har vi använt de Moivres formel för att ta z upphöjt i 8 (Bild 4). Vi tog således absolutbeloppet upphöjt till 8 och så multiplicerade vi argumentet till 8 och så är det klart.

Bild 4: Resultat av exempel på de Moivres formel.

Vi ska titta på hur man kommer fram till det här sambandet och då letar man efter ett mönster (Bild 5). Om vi nu börjar med z som är lika med talet r gånger cosinus för vinkeln plus i gånger sinus för vinkeln, och så tar vi det talet z upphöjt till 2 till att börja med, så skulle det innbära att vi tar r gånger cosinus för vinkeln plus i gånger sinus för samma vinkel upphöjt till 2. Då säger potenslagen att vi kan ta varje faktor var för sig och kvadrera, vi tar r upphöjt i 2 och vi tar parentesen cosinus för vinkeln plus i sinus för vinkeln upphöjt i 2. Då får vi r i kvadrat gånger parentesen med cosinus för vinkeln plus i gånger sinus för vinkeln i kvadrat.

Det vi ska göra nu är att ta en parentes gånger sig själv, alltså cosinus för vinkeln plus i gånger sinus för vinkeln gånger sig själv med cosinus för vinkeln plus i gånger sinus för vinkeln. Men när vi multiplicerar tal i polär form så kunde vi addera argumenten när vi skriver ihop allt till ett, till en enda form, till en enda parentes. Då får vi slutligen r i kvadrat multiplicerat med cosinus 2 gånger vinkeln plus i gånger sinus 2 gånger vinkeln. Då ser vi hur z upphöjt till två blev just r upphöjt i 2, och samma 2:a har vi för både cosinus för vinkeln respektive i gånger sinus för vinkeln.

Bild 5: Härledning av sambandet (n = 2) i de Moivres formel.

Men för att ser att mönstret fortsätter på samma sätt så tar vi också z upphöjt i 3 (Bild 6) som skulle vara på motsvarande sätt med r upphöjt i tre, multiplicerat med en parentes innehållande cosinus för vinkeln plus i gånger sinus för samma vinkel upphöjt i 3. Det här kan skrivas om som r upphöjt i 3 multiplicerat med cosinus för vinkeln plus i gånger sinus för vinkeln i kvadrat, multiplicerat med en tredje parentes innehållande cosinus för vinkeln plus i gånger sinus för vinkeln. Eftersom det är polärform så adderar vi argumenten och får r upphöjt i 3 gånger cosinus 3 gånger vinkeln plus i gånger sinus 3 gånger vinkeln. Då ser vi hur 3:an precis som de Moivres säger, följer med till dels absolutbeloppet och samma trea framför respektive argument. På samma sätt fortsätter det här mönstret, alltså de Moivres formel.

Bild 6: Ytterligare en härledning av sambandet (n = 3) i de Moivres formel.

Nedanstående YouTube-klipp förklarar ingående de Moivres formel.