Produktregeln

Nu ska vi titta på derivatan av en produkt. Funktionen y = 5x² + sin x är en summa av två termer. När vi deriverar den här funktionen deriverar vi term för term (bild 1), och derivatan av den första termen är y´ = 10x plus derivatan av den andra termen som är y´ = cos x.

Bild 1: Derivatan av två summerade termer.

https://www.youtube.com/watch?v=xDBm3_BWHOA

Men om vi har funktionen 5x² * sin x är det i stället en produkt av två stycken faktorer, och den driverar vi inte på samma sätt. Derivatan av den här funktionen blir i stället y` = 5x² (den första faktorn) * cos x (derivatan av den andra faktorn) + 10x (derivatan av den första faktorn) * sin x (den andra faktorn). Det här kallas produktregeln, och den kan vi sammanfatta genom att skriva att: Här har vi först en funktion som vi kallar f(x) som multipliceras med en annan funktion g(x), och då får vi en funktion som är en produkt av två stycken faktorer som båda är funktioner. Om vi deriverar den funktionen så tar vi först den första faktorn alltså f(x) och multiplicerar med den andra faktorns derivata som blir g´(x) i så fall, plus den första faktorns derivata som nu kan skrivas som f´(x), multiplicerat med den andra faktorn som är sinus x och som vi kallade för g(x) (bild 2).

Bild 2: Exempel på produktregeln.

https://www.youtube.com/watch?v=xDBm3_BWHOA

Det här kallas för produktregeln och med de här beteckningarna så kan vi skriva att om vi har en funktion y = f(x) * g(x), så är derivatan som är en produkt av två faktorer y´= f(x) * g´(x) + f´(x) * g(x) (bild 3).

Bild 3: Generell definition av produktregeln.

https://www.youtube.com/watch?v=xDBm3_BWHOA

Då kan man fråga sig varför det blir så här? Vi utgår i från att y är en funktion av två faktorer, där varje faktor i sig är en funktion, dvs. y = f(x) * g(x). Vill vi derivera den här så får vi använda oss av derivatans definition (bild 4) som säger att y´är lika med limes när h -> 0, för f(x + h) * g(x + h) - f(x) * g(x) / h.

Bild 4: Derivatans definition av produktregeln.

https://www.youtube.com/watch?v=xDBm3_BWHOA

Nu bör vi skriva om det här för att se var vi landar, och då måste vi utnyttja någonting sedan tidigare. Om vi har en funktion y = f(x) så är derivatan y´= f´(x), och det är ungefär lika med derivatans definition f(x + h) - f(x) / h, när vi låter h närma sig noll. Men ur den här differenskvoten kan vi lösa ut f(x + h) -> f(x + h) = f(x) + h * f´(x). Det här innebär att den första faktorn i vår differenskvot kan vi ersätta med f(x + h) * g´(x). Detsamma gäller den andra faktorn som vi kan skriva om på motsatt sätt som g(x) + h * g´(x). Då gör vi den ersättningen och får limes av h -> 0, (f(x + h) * g´(x)) * (g(x) + h * g´(x)) - f(x) * g(x) / h. Nu finns det ingen genväg utan nu gäller det att förenkla uttrycket i täljaren. Vi börjar med att multiplicera ihop parenteserna när limes h -> 0, f(x) * g(x) + f(x) * h * g´(x) + h * f´(x) * g(x) + h * f´(x) * g´(x) - f(x) * g(x) / h. Det vi kan se då är att vi får två stycken likadana termer där vi ska ta bort den ena från den andra (f(x) * g´(x) - f(x) * g´(x)). Kvar blir då en uppdelning av bråkstrecket där alla termerna hamnar var för sig, och då ska h:et följa med till alla dom bråken. Limed h -> 0, f(x) * g´(x) + f´(x) * g(x) + h * f´(x) * g´(x). Då har täljaren dividerats upp i egna bråk och dividerats med h i varje bråk.

Bild 5: Parentesmultiplikation och förenkling av dervatans definition gällande produktregeln.

https://www.youtube.com/watch?v=xDBm3_BWHOA

Då ser vi att när vi nu låter h gå mot noll så kommer faktorn h * f´(x) * g´(x) och hela termen att gå mot noll, och det ena som blir kvar när h -> är f(x) * g´(x) + f´(x) * g(x), vilket är precis det som produktregeln handlade om eller beskrev. Nu kan vi skriva detta på ett lite annorlundare sätt. Om vi har och vill ta reda på derivatan d / dx med avseende på x för en produkt av två faktorer så är derivatan för den här produkten, den första faktorn f(x) gånger den andra faktorns derivatan som blir g´(x), plus den första faktorns derivata som blir f´(x) multiplicerat med den andra faktorn g(x). Det här är då produktregeln.

Nedanstående YouTube-klipp förklarar ingående produktregeln.