Kvotregeln

Nu ska vi titta på derivatan av en kvot bestående av två stycken funktioner. För att derivera en sådan funktion utnyttjar man produktregeln. Funktionen (y = sin x) / x är en funktion som består av en kvot av två stycken funktioner. För att derivera den här funktionen så utnyttjar man produktregeln. Nu måste vi skriva om det här (bild 1) så vi får (sin x * 1) / x. Har vi nu två stycken faktorer i täljaren kan vi flytta ner den ena framför bråkstrecket, och då skriver vi att det här är lika med sinx * 1 / x, vilket i sin tur kan skrivas som sin x * x^-1 . Nu kan vi utnyttja produktregeln eftersom vi har två stycken faktorer. Så deriverar vi det här så får vi att y´= sin x * (- 1) * x^-2 + cos x * x^-1 , och då har vi utnyttjat produktregeln. Det här kan jag nu skriva om för att se vad vi har fått. - sin x * 1 / x² + cos x * 1 / x. Då har vi två stycken termer som vi kan lägga ihop där om vi har gemensam nämnare, vilket vi får om vi multiplicerar eller förlänger den andra termen med x / x. Det här gör att vi kan skriva på ett gemensamt bråkstreck att derivatan nu blir, (x cos x - sin x * 1) / x² . Anledningen till att vi skriver om det så här är att vi ska se ett mönster. Det som står först där är nämligen nämnaren i vår kvot vi hade från början, så vi multiplicerar med täljarens derivata. Sedan tar vi minus täljaren multiplicerat med 1 som faktiskt är nämnarens derivata, och sedan dividerar vi allt med x² som är nämnaren i kvadrat.

Bild 1: Derivatan av en kvot.

https://www.youtube.com/watch?v=yyNcD_Pblx8

Detta är kvotregeln som säger att om vi har en funktion som är en kvot f(x) / g(x), så kommer derivatan till den här kvoten att vara lika med y´= g(x) * f´(x) - f(x) * g´(x) / (g(x)²). Vi ska göra en härledning (bild 3) för att visa att det verkligen blir så. Vi utgår att funktionen är en kvot mellan två funktioner y = f(x) / g(x). Det vi måste utgå i från är att nämnaren aldrig få vara noll (bild 2). Men det här kunde vi nu skriva om till två stycken faktorer. I det här fallet får vi först f(x) * 1 / g(x), och då är det samma omskrivning som vi gjort tidigare, vilket vi kan skriva om som f(x) * (g(x))^-1 . Det här gör nu att vi kan använda oss av både produktregeln och kedjeregeln eftersom (g(x))^-1 är en sammansatt funktion när vi tar reda på derivatan till den här kvoten. Produktregeln säger att vi får y´= f(x) * (-1) * g(x)^-2 (kedjeregeln) multiplicerat med den inre derivatan som nu blir g´(x) i den sammansatta funktionen. Det här var den första delen i produktregeln, dvs. den första faktorn multiplicerat med den andra faktorns derivata + f´(x) * (g(x))^-1. Nu har vi använt oss av både produktregeln och kedjeregeln i det här fallet när vi hade en sammansatt funktion. Nu skriver vi om det här till: - f(x) * 1 / (g(x))² * g´(x) + f´(x) * 1 / g(x) * g(x) / g(x) (förlängning till gemensam nämnare). Vi skriver nu den positiva termen först och får f´(x) * g(x) - f(x) * g´(x) / (g(x))² (gemensam nämnare).

Bild 2: Nämnaren får aldrig vara noll i kvoten mellan två funktioner.

https://www.youtube.com/watch?v=yyNcD_Pblx8

Bild 3: Härledning av kvotregeln.

https://www.youtube.com/watch?v=yyNcD_Pblx8

Derivatan av den här kvoten var således täljarens derivata multiplicerat med nämnaren, minus täljaren multiplicerat med nämnarens derivata, och alltihop dividerat med nämnaren i kvadrat. Exempelvis kan funktionen tan x skrivas om som sin x / cos x, och produktregeln säger oss då att derivatan blir y´= (cos x * cos x - sin x * (- sin x)) / cos² x. Skriver vi om det här får vi att (cos² x + sin² x) / cos² x = 1 / cos² x, eftersom cos² x + sin² x = (trigonometriska ettan, dvs = 1). Derivatan till funktionen y = tan x = 1 / cos² x

Bild 3: Exempel på kvotregeln av den trigonometrisk funktionen y = tan x.

https://www.youtube.com/watch?v=yyNcD_Pblx8

Nedanstående YouTube-klipp förklarar ingående kvotregeln.