Differentialekvation

Nu ska vi titta på vad en differentialekvation är för något. Vi börjar med ett exempel på hur man ställer upp en differentialekvation. , där saldot i sin tur är en funktion av tiden. Om vi tar exemplet med ränta och så tänker vi oss att på en bank får man 4 % ränta på sina pengar per år. Fyra procent kan vi skriva som 0,04. Då innebär det att vårt sald, det belopp vi har på banken ökar med fyra procent per år. Däremot om vi vill veta hur stor ökningen är i kronor, alltså inte ökning i procent utan i kronor per år, så beror det på hur stort saldo vi har på kontot just det året. Om jag kallar saldot för y som då är antalet kronor, så kan man se att saldot blir en funktion av tiden. Ökningen per år är det som vi hittills har kallat för tillväxthastighet, dvs. hur mycket pengarna växer. Tillväxthastigheten är faktiskt derivatan av den funktion som beskriver saldot. Vi vet inte hur den här funktionen ser ut än. Men då får vi ett samband mellan ökningen i kronor som är y' beror på räntan som vi har som 0,04 eller 4 %, multiplicerat med saldot. Ökningen i kronor beror på räntan och saldot. Lägg märke till att vi har fått en ekvation, en likhet, som består av en funktion och dess derivata (bild 1).

Bild 1: Exempel på en differentialekvation inom räntebegreppet.

(https://www.youtube.com/watch?v=VLlvTMc0Iio&feature=player_embedded)

Så den obekanta är i det här fallet är en funktion i sin tur. Just den här ekvationen som vi kallar för en differentialekvation när den innehåller en funktion och funktionens derivata. Om derivatan, den högsta derivatan är av första graden, kallar man den för en differentialekvation av första ordningen.

Bild 2: Differentialekvation av första ordningen.

(https://www.youtube.com/watch?v=VLlvTMc0Iio&feature=player_embedded)

Den här differentialekvationen kan även skrivas som dy/dt, som då skulle vara ökningen i per/år, eller y´som är lika med 0,04 * y. En annan typ av differentialekvation skulle kunna se ut som y´´+ 2y´+ y = 0 (bild 3). Det här är också en differentialekvation eftersom vi har en funktion, funktionens derivata och andraderivata och är av andra ordningen eftersom den högsta derivatan är av andra graden där.

Bild 3: Differentialekvation av andra ordningen.

(https://www.youtube.com/watch?v=VLlvTMc0Iio&feature=player_embedded)

Nu ska vi gå tillbaka till vår andragradsekvation som vi fick fram med hjälp av ränta. Om vi tittar på den igen där ökningen i kronor per år berodde på räntan och hur mycket vi hade i saldo just det året, så har en differentialekvation av den här formen en lösning som ser ut som i nedanstående (bild 4).

Bild 4: Differentialekvation y´= 0,04 * y med påstådd lösning y = A * e^0,04x .

(https://www.youtube.com/watch?v=VLlvTMc0Iio&feature=player_embedded)

Lägg märke till att lösningen till den ekvationen är precis konstanten 0,04 som står framför y. Det är nu ett påstående att den övre differentialekvationen y´= 0,04 * y har den undre differentialekvationen y = A * e^0,04x som lösning. För att testa det så deriverar man den lösning som man påstår att den har som då blir som i nedanstående (bild 5).

Bild 5: Derivatan av den påstådda lösningen till differentialekvationen i föregående bild.

(https://www.youtube.com/watch?v=VLlvTMc0Iio&feature=player_embedded)

Denna derivata är lika med vänster led i vår ekvation. Det högra ledet är lika med 0,04 * y (som är samma som A * 0,04 * e^0,04x ), som visar sig vara precis samma som i vänster led (bild 6), dvs. lösningen stämmer. Då säger man allmänt att en differentialekvation har en derivata som är lika med k gånger funktionen, y´= k * y, har lösningen y = A * e^kx , där k:et framför e är samma k som vi har i y´= k * y.

Bild 6: Bevis för att den påstådda lösningen till differentialekvationen stämmer med högerledet efter derivering.

(https://www.youtube.com/watch?v=VLlvTMc0Iio&feature=player_embedded)

Nu är frågan vad A är för ett tal, och svaret är att A kan vara precis vad som helst om vi inte har ett begynnelsevillkor. Vad är då det? Vi går tillbaka till vårt bankkonto, där vi sa att vi skulle få 4 % ränta, men däremot sa vi inte hur mycket vi satte in från början. Men när jag säger att tiden är noll, dvs. när jag sätter in pengarna så är det 1000 kr. Då har vi ett begynnelse villkor för den funktion som vi har tagit fram, dvs. vi talar om när x är noll y(0) = A * e^{0,04 * 0} = A * 1 = A = 1000 (bild 7).

Bild 7: Förklaring av vad som menas med begreppet begynnelsevillkor.

(https://www.youtube.com/watch?v=VLlvTMc0Iio&feature=player_embedded)

Slutligen beskriver den funktion som talar om hur mycket pengar vi har efter x antal år i så fall likheten med y = 1000 * e^0,04x . Men en differentialekvation var en ekvation som består av den obekanta i en funktion och funktionens derivata eller derivator, om funktionen deriverats ytterligare en gång, och satisifierar vår differentialekvation (bild 8).

Bild 8: Funktionen som beskriver hur vårt saldo ser ut efter x antal år.

Nedanstående YouTube-klipp förklarar ingående begreppet differentialekvation.