Derivata av logaritmer

Nu ska vi titta på exponential och logaritmfunktioner, och vi ska också tita på deras derivator. Vi börjar med exponentialfunktionen som har formen y = C * a^x (bild 1).

Bild 1: Exponentialfunktionens form.

https://www.youtube.com/watch?v=4VPIECFFuIs

Tittar man på den här funktionen grafiskt så är C-värdet startvärdet när x = 0. Om basen a är > 0 har vi en funktion som växer, medans om basen a är < 0, avtar funktionen (bild 2).

Bild 2: Grafisk tolkning av y = C * a^x om a > 0 eller a < 0.

https://www.youtube.com/watch?v=4VPIECFFuIs

Derivatan till y = C * a^x kan skrivas som y´= C * a^x ln a (logaritmen för basen a). Om vi exempelvis har funktionen 3000 * 1,5^x , skulle det kunna betyda en upprepad procentuell förändring. Om vi hade 3000 kronor från början och så har vi en upprepad procentuell ökning på 50 procent, dvs. förändringsfaktorn 1,5. Så kan vi ta reda på tillväxthastigheten (bild 3), eller y´, derivatan som då är y = 3000 * 1,5^x * ln 1,5.

Bild 3: Exempel på upprepad procentuell förändring med hjälp av derivatan för en exponentialfunktion.

https://www.youtube.com/watch?v=4VPIECFFuIs

Med hjälp av kedjeregeln som vi använde för sammansatta funktioner så kan vi nu också derivera en exponentialfunktion y = C * a^kx . Kedjeregeln använder vi för sammansatta funktioner och det här är en sammansatt funktion. Den inre funktionen utgörs av exponenten ^kx medan den yttre funktionen utgörs av C * a^x . Om vi deriverar y = C * a^kx får vi y´= C * a^kx * ln a (yttre funktionens derivata) * k (inre funktionens derivata). Vi visar ett exempel där y = 2^3x (där C = 1), så skulle den här funktionens derivata i så fall vara y´= 2^3x * ln 2 (yttre funktionens derivata) * 3 (inre funktionens derivata).

Bild 4: Kedjeregelns inre och yttre derivata av en exponentialfunktion y = C * a^kx .

https://www.youtube.com/watch?v=4VPIECFFuIs

Men med basen e så blir det hela lite enklare. Om vi tittar på funktionen y = 2^3x igen, så kan man skriva om den funktionen med basen e i stället, dvs. (e^ln2)^3x. Potenslagarna säger att det här kan vi skriva om som e^{ln2 * 3x} . Fördelen med att göra den här omskrivningen är att derivatan till funktionen y = e^kx är mycket enkel, dvs. y´= k * e^kx . Det här gör att derivatan till vår funktion y =  e^{ln2 * 3x} blir y´= ln 2 * 3 * e^{ln2 * 3x} .

Bild 5: Omskrivning av exponentialfunktionen y = C * a^kx med basen e.

https://www.youtube.com/watch?v=4VPIECFFuIs

Nu för vi in det som kallas för logaritmfunktioner. Exempel på en logaritmfunktion skulle kunna vara att y = ln x (logaritmen för x). Tittar man på den här funktionen i en graf så ser den ut som nedan (bild 6).

Bild 6: Grafisk illustration av logaritmfunktionen y = ln x.

https://www.youtube.com/watch?v=4VPIECFFuIs

Den här logaritmfunktionen är ju egentligen något som är skrivet i logaritmform, men man kan gå från logaritmform till potenslform (bild 7). Skulle vi skriva om y = ln x, så betyder det som står där att (y är det tal som e ska upphöjas till för att få talet x), dvs. e^y = x (potensform). Anledningen till att vi gör det här är för att vi vill vete vad derivatan till funktionen y = ln x är. Grafiskt är funktionen en kurva som har en lutning i de olika punkterna, och därför kan det vara intressant att ta reda på derivatan till logaritmfunktionen y = ln x. För att göra det utnyttjar man funktionen skriven i potensform.

Bild 7: Omskrivning från logaritmform till potensform.

https://www.youtube.com/watch?v=4VPIECFFuIs

Om x = e^y så kan man derivera vänster och höger led var för sig. Då får vi att d / dx av x måste vara lika med det som står i höger led d / dx av e^y . Eftersom vi deriverar båda leden så måste det vara likadant eftersom vi gör samma sak på båda sidorna. Då upptäcker vi att derivatan av x är bara 1, medans derivatan av e^y är en sammansatt funktion med en (inre funktion) y och en (yttre funktion) e^y . Med hjälp av kedjeregeln får vi att derivatan av y = e^y kan skrivas y´= e^y * y´, och vad y´är kommer vi tillbaka till om en stund. Men det vi upptäcker då är att y´kan vi lösa ut ur det här sambandet och få fram att y´= 1 / e^y , men e^y är ju samma sak som x, dvs. om vi byter tillbaka x så får vi att 1 / x. Slutsatsen blir att om vi har logaritmfunktionen y = ln x, så är derivatan till den funktionen y´= 1 / x, som också kan skrivas som x^-1(bild 8) . Plötsligt har vi en funktion som är en logaritmfunktion vars derivata inte logaritmfunktion, utan en potensfunktion.

Bild 8: Logaritmfunktion vars derivata är en potensfunktion.

https://www.youtube.com/watch?v=4VPIECFFuIs

Exempelvis är y = ln (5x) en sammansatt funktion med derivatan y´= 1 / 5x (derivatan av yttre funktionen) * 5 (derivatan av inre funktionen) = 1 / x efter förkortning av 5 i respektive täljare och nämnare. Nu kan vi se att funktionen återigen blev 1 / x.

Bild 9: Exempel på en sammansatt logaritmfunktion vars derivata skrivs som en potensfunktion.

https://www.youtube.com/watch?v=4VPIECFFuIs

Nedanstående YouTube-klipp förklarar ingående logaritmfunktionens derivata.