Trigonometriska grundbegrepp

Nu ska vi repetera de trigonometriska grundbegreppen, tangens, sinus och cosinus. Det vi utgår från är en rätvinklig triangel, där vi kallar de två korta sidorna för kateter och den långa sidan för hypotenusa (Bild 1). Trigonometri handlar om en trigon som är just trehörning, och metri handlar om att mäta. Trigonometri handlar således om att mäta en trehörning. När vi talar om tangens, sinus och cosinus så tittar vi på sambandet mellan vinklar och sidor. Om vi utgår från en vikel i den rätvinkliga triangeln som vi kallar för v så hittar vi den motstående kateten som är den katet som står mitt emot vinkeln v. Den närliggande kateten kallar vi den katet som ligger närmast vinkel v. De här begreppen använder vi också när vi ställer upp sambandet för tangens, sinus och cosinus.

Bild 1: Trigonometriska grundbegrepp.

(https://www.youtube.com/watch?v=tuNAa_NUvVM)

Om vi börjar med vad tangens v betydde. Tangens v är det förhållande eller kvoten vi får när vi tar längden på den motstående kateten som vi nu kallar för M.k. och dividerar med längden på den närliggande kateten. Om vi direkt tar ett exempel på det så kan vi välja den egyptiska triangeln. I den egyptiska triangeln som är rätvinklig så är sidorna 3, 4 och 5. Den spetsiga vinkeln är ungefär 37^o. Tangens för 37^o skulle innebära att vi tittar på förhållandet mellan den motstående kateten som är 3 som vi ska ta och dividera med den närliggande kateten som är 4. Tangens för 37^o säger då att förhållandet mellan de två sidorna är 0,75 (Bild 2).

Bild 2: Tangens för den spetsiga vinkeln i den egyptiska triangeln.

(https://www.youtube.com/watch?v=tuNAa_NUvVM)

Sen hade vi sambandet sinus för vinkeln och definieras som förhållandet mellan motstående katet (M.k.) och hypotenusan (H). I den egyptiska triangeln så skulle det innebära att när vi tittar på sin 37^o så innebär det att vi tittar på förhållandet mellan motstående katet och hypotenusa, dvs. 3 dividerat med 5 vilket är 0,60 (Bild 3).

Bild 3: Sinus för den spetsiga vinkeln i den egyptiska triangeln.

(https://www.youtube.com/watch?v=tuNAa_NUvVM)

Det sista begreppet var cosinus och cosinus för vinkeln v är förhållandet mellan närliggande katet (N.k.) och hypotenusa (H). I den egyptiska triangeln så skulle det innebära att cosinus för 37^o är förhållandet 4 dividerad med 5 som är lika med 0,80 (Bild 4).

Bild 4: Cosinus för den spetsiga vinkeln i den egyptiska triangeln.

(https://www.youtube.com/watch?v=tuNAa_NUvVM)

Det var så här vi namngav eller definierade de här förhållandena. Vi ska titta direkt på ett exempel hur vi använder det också. I triangeln (Bild 5) får vi från början veta att vinkeln där är 37^o . Den är rätvinklig och den motstående kateten är 12 meter. Frågan är nu hur lång blir den närliggande kateten? Det de trigonometriska grundbegreppen innebär är att om vi har en rätvinklig triangel där den spetsiga vinkeln är 37^o så kommer förhållandet mellan den motstående kateten och den närliggande kateten alltid vara 0,75. Dvs. om vi skriver tangens för vinkeln 37^o som ju är 12, alltså den motstående kateten dividerat med närliggande kateten.

Då ska det förhållandet i den triangeln vara lika med förhållandet i den egyptiska triangeln som också hade 37^o i den spetsiga vinkeln, dvs. 0,75 som skulle vara lika med 12 dividerat med x. Utifrån det här kan vi nu ta reda på att sidan som är markerad med x är lika med 12 delat med 0,75 vilket är lika med 16 meter.

Bild 5: Tangens för spetsiga vinkeln 37^o till finna okänd sida x i en rätvinklig triangel.

(https://www.youtube.com/watch?v=tuNAa_NUvVM)

Men nu är det ju inte alltid säkert att det är en triangel som har en vinkel som är just 37^o. Vi kan välja en helt annan triangel som är vinklad på ett annorlunda sätt. Vi får veta att den spetsiga vinkeln är 32^o och den närliggande kateten vill vi veta. Men vi har fått reda på att hypotenusan är 47 meter. Då kan vi använda oss av cosinus för vinkeln som säger att vi ska ta den närliggande kateten x och dividera med hypotenusan 47. Vi har alltså tagit cosinus för 32^o (Bild 7). Problemet är att vi inte vet vad det förhållandet blir i de trianglar som har en spetsig vinkel som är 32^o.

Men det är inlagt i vår miniräknare. Så om vi trycker på cosinus först och sedan 32 så talar miniräknaren om för oss att förhållandet mellan den närliggande kateten och hypotenusan i en triangel med den spetsiga vinkeln 32^o är lika med 0,85 (Bild 6), dvs. x delat på 47 ska vara 0,85 och ur det här kan vi då ta reda på vad x är, nämligen 0,85 * 47 som är lika med eller ungefär lika med 40 meter. 

Bild 6: Miniräknaren visar värdet för cosinus 32^o , dvs 0,85.

(https://www.youtube.com/watch?v=tuNAa_NUvVM)

Bild 7: Triangel med den spetsiga vinkeln 32^o med okänd närliggande katet.

(https://www.youtube.com/watch?v=tuNAa_NUvVM)

Ofta behåller man 0,85 och skriver att x är lika med cos 32^o multiplicerat med 47 och så slår man in allt på miniräknaren på en gång, dvs. vi slår cosinus 32 gånger 47 och miniräknaren talar om direkt att det är ungefär 40 (Bild 8).

Bild 8: Miniräknaren visar värdet för multiplikationen cos (32) * 47 = 39,85, eller ungefär 40.

(https://www.youtube.com/watch?v=tuNAa_NUvVM)

Men ofta är det tvärtom dvs. att man vill veta vinkeln men vet sidorna. Vi tar ett exempel på en rätvinklig triangel som har motstående katet 1 meter och närliggande katet 2 meter. Hur stor är mellanliggande vinkeln v? Eftersom vi nu vet motstående katet och närliggande katet så kan vi använda oss av sambandet att tangens för vinkeln v definieras just som motstående katet (1) dividerat med närliggande katet (2). Nu vill vi veta vinkeln i stället och då är frågan vilka trianglar har ett samband mellan motstående katet och närliggande katet som är just 0,5 (Bild 9)?

Våran miniräknare kan tala om för oss vad den här vinkeln är i så fall genom att vi använder knappen där det står tan^-1 (1/2). Detta uttalas tangens invers för en halv eller arctan 1/2. Den får vi tag i genom att trycka 2nd och sedan trycka tan 1/2 som är lika med ungefär 27^o (Bild 8) . Det här ska tolkas så att om vi har en triangel vilken som helst, exempelvis en rätvinklig triangel med en spetsig vinkel på 27^o och vi får reda på att den motstående kateten är 3 meter så säger oss det vi nyss visat att den närligande kateten är dubbelt så lång, dvs. 6 meter.

Bild 9: Triangel med bägge kateterna kända men vi vill veta den mellanliggande vinkeln v.

(https://www.youtube.com/watch?v=tuNAa_NUvVM)

Nedanstående YouTube-klipp förklarar ingående trigonometriska grundbegrepp.