Trigonometr. samband

Nu ska vi titta på en komplikation som uppstår när vi börjar titta på vinklar som uppstår i koordinatsystem med enhetscirkeln. Om vi börjar med frågan för vilken vinkel v gäller att sin v = 0,5? Då kan vi använda miniräknaren och slå in att vinkeln v som vi söker då är sin^-1 = (0,5) på miniräknaren. Svaret vi får på miniräknaren är att sinus för vinkeln v är 30^o .Om vi tar sinus för vinkeln 30^o så är värdet för det 0,5 (Bild 1). Om vi nu ritar in den här vinkeln i koordinatsystemet i enhetscirkeln med medelpunkten i origo och radien 1 så blir vinkeln 30^o . Vi tänker att vi drar radien som om vi hade en visare som hade förflyttat sig eller viridit sig upp till 30^o .

Bild 1: Sinus för vinkeln 30^o är lika med 0,5.

(https://www.youtube.com/watch?v=3GuSVm4R35A)

Samtidigt har vi tidigare sett att y-koordinaten där har just värdet 0,5. Det vi såg då var att y = sin v, dvs. 0,5 = sin 30^o och det här stämmer också överens med det som miniräknaren talar om. Men i enhetscirkeln ser vi att det också finns ett annat y-värde på cirkelns rand som också har värdet 0,5, och det hittar vi rakt över på cirkelns rand i den andra kvadranten. Frågan är hur vi ska vrida den här radien för att komma dit? Vi vrider moturs där vi passerar vinkeln 30^o och hamnar i stället på en större vinkel. Om vi nu drar den radien dit så ser vi att vinkeln som vi vred radien är betydligt större än 30^o .

Bild 2: Sambandet för sinus 150^o är lika med 180^o - 30^o .

(https://www.youtube.com/watch?v=3GuSVm4R35A)

Tänker vi efter lite så bör det vara 150^o , dvs. 180^o - 30^o = 150^o . Det här innebär att det finns två vinklar, en andra vinkel v som i det här fallet är 150^o för vilket sambandet sinus för 150^o som är y-koordinaten är också lika med 0,5 (Bild 2). Så förutom miniräknarens svar på 30^o så finns det ytterligare en vinkel som också har sinusvärdet 0,5. Vi kan dessutom tänka oss att vi tar och utgår ifrån x-axeln och så tar vi radien och i stället vrider åt andra hållet tills vi kommer upp till punkten som har värdet 0,5. I det fallet så vred vi baklänges. Vridningen blir 180^o + 30^o till, dvs. vi har vridit - 210^o om vi tänker oss en negativ vridning (Bild 3).

Bild 3: Radien vrids 180^o + 30^o som motsvarar - 210^o i en negativ riktning.

(https://www.youtube.com/watch?v=3GuSVm4R35A)

Det här innebär att om vi tar vinkeln v = - 210^o så innebär det att sinus för samma vinkel sin (- 210^o) = 0,5. Vi ställer frågan från inledningen igen, dvs för vilken vinkel v gäller att sin v = 0,5? Vi ser att det finns många vinklar som har det värdet, ex 30^o, 150^o eller - 210^o . Vi ska titta på ytterligare en vinkel. Om vi först tänker oss vinkeln som först är vriden 360^o och så lägger vi till 30^o till så får vi ytterligare en vinkel, nämligen vinkeln 390^o som också har samma sinusvärde. Det gör att när vi ställer den här frågan måste vi också samtidigt få reda på i vilket intervall vi vill hitta den här vinkeln.

Bild 4: Intervallet 0 mindre än eller lika med vinkeln v, vilken ska vara mindre eller lika med 180^o .

(https://www.youtube.com/watch?v=3GuSVm4R35A)

Då kan vi exempelvis säga att vinkeln v ska finnas i intervallet 0 mindre eller lika med vinkeln v vilket ska vara mindre eller lika med 180^o(Bild 4). Det här gör att den vinkel vi nu kan svara med utgörs av två stycken vinklar. Så om vi säger att sinus för den vinkel som vi söker ska vara 0,5 så kan vi få fram två svar, dels det svaret som miniräknaren ger som är lika med v₁ = sin^-1 (0,5) = 30^o. Den andra vinkeln v₂ = 180^o - 30^o = 150^o . Det här gör att vi plötsligt hittar ett trigonometriskt samband. Vi säger nämligen att sinus 30^o = sin 180^o - 30^o (Bild 5) . Det här kan man sammanfatta generellt och säga sin v = sin (180^o - v) (Bild 6).

Bild 5: Trigonometriskt samband som utgår från sinus 30^o = sin 180^o - 30^o .

(https://www.youtube.com/watch?v=3GuSVm4R35A)

Bild 6: Generell sammanfattning av sin v = sin (180^o - v).

(https://www.youtube.com/watch?v=3GuSVm4R35A)

Det här är det första trigonometriska sambandet som vi ska ta med oss. Då kan vi fråga oss om samma samband gäller för cosinus? Det gör det inte riktigt men det finns samband där också, t.ex. så kan vi visa att cos v = cos (-v) för samma vinkel (Bild 7). Det kan vi visa i enhetscirkeln som har medelpunkten i origo och radien 1 så kan vi se att cos v så har vi vridit radien en vinkeln upp dit. Då får vi en x-koordinat som vi kan beskriva som cos v. Men samma x-koordinat hittar vi även i den fjärde kvadranten där x också är detsamma. I stället för att vrida radien åt ett positivt eller så kan vi säga att vi har vridit neråt en ganska stor vinkel i symmetrin för att komma ner dit och då säger vi att vi har vridit vinkeln -v.

Bild 7: Trigonometriskt samband som visar att cos v = cos (-v).

(https://www.youtube.com/watch?v=3GuSVm4R35A)

Då blir x-koordinaterna cos (-v). Ytterligare ett samband som vi kan visa men som jag lämnar till er är cos (180^o - v) = - cos v (Bild 8). Då har vi hittat trigonometriska samband med hjälp av enhetscirkeln där vi tänker på de här tre sambanden till att börja med

Bild 8: Trigonometriskt samband som visar att cos (180^o - v) = - cos v

(https://www.youtube.com/watch?v=3GuSVm4R35A)

Nedanstående YouTube-klipp förklarar ingående trigonometriska samband.