Enhetscirkeln

Hittills har vi tittat på de trigonometriska begreppen bara i rätvinkliga trianglar t.ex. i den nedanstående (Bild 1) så har vi sett att tangens för vinkeln v är motstående katet kallad y, dividerad med närligande katet som här är kallad x. Nu vill vi utvidga de trigonometriska begreppen tangens, cosinus och sinus till att gälla även trianglar som inte är rätvinkliga, t.ex. i triangeln nedan (Bild 1) där vi kan fråga oss vad tangens v är för vinkeln v som inte är rätvinklig?

Bild 1: Utvidgning av de trigonometriska begreppen tangens, cosinus och sinus.

(https://www.youtube.com/watch?v=ObyLiKZ-3RU)

Idén för at utvidga de här begreppen till att gälla också de trianglar som inte är rätvinkliga utgår i från cirkeln som är inskriven i ett koordinatsystem. Just den här cirkeln har sin medelpunkt i origo. Nu bestämmer vi att cirkelns radie, alltså från medelpunkten ut till kanten ska vara en längdenhet t.ex. i cm. Radien blir således 1 och då blir även cirkelns radie 1. En cirkel med radien 1 t.ex. 1 cm och medelpunkten i origo i ett koordinatsystem kallas för en enhetscirkel (Bild 2).

Bild 2: Enhetscirkeln.

(https://www.youtube.com/watch?v=ObyLiKZ-3RU)

Nu utnyttjar vi radien och låter den vara hypotenusan i en rätvinklig triangel med hypotenusan 1 men den kommer också att ha basen längs x-axeln. Basen kan beskrivas som x samtidigt som höjden kommer att bli y-värdet i den punkten. I den bildade rätvinkliga triangeln kallar vi triangelns spetsiga vinkel för v. Det här gör nu att vi kan bestämma tangens för vinkeln v genom att dividera den motstående kateten (y) med den närliggande kateten x. Men skillnaden nu är att x och y i det här fallet också är koordinaterna för punkten i det hörnet på triangeln.

Punkten har således koordinaterna (x,y). Plötsligt har vi knutit ihop vinkeln i den rätvinkliga triangeln med punkter i koordinatsystemet (Bild 3). Men det här gäller bara för enhetscirkeln så länge radien är 1. Intressant blir det först när vi börjar titta på sinus och cosinus. Om vi börjar med sinus för vinkeln v så är den fortfarande den motstående kateten (y) men dividerat med hypotenusan (1), vilket gör att y / 1 = y. Plötsligt har vi knutit ihop y-koordinaten med punkten på cirkelns rand med vinkeln i den rätvinkliga triangeln. På samma sätt blir det med cosinus eftersom cosinus för vinkeln är lika med närliggande katet (x) dividerat med hypotenusan (1) som är x / 1 = x.

Bild 3: Rätvinklig triangels vinkel v ihop kuten med punkter i koordinatsystemet.

(https://www.youtube.com/watch?v=ObyLiKZ-3RU)

Koordinaterna i punkten där vi har x är lika med cosinus för vinkeln v i den rätvinkliga triangeln, och på motsvarande sätt ser vi att y-koordinaten i punkten är lika med sinus för vinkeln v. Plötsligt har vi knutit ihop koordinaterna längs cirkelns rand med vinkeln mellan radien och x-axeln (Bild 4).

Bild 4: Enhetscirkeln med koordinater x och y som motsvarar x = cos v och y = sin v.

(https://www.youtube.com/watch?v=ObyLiKZ-3RU)

Det här ska vi ta med oss nu. Vi ska också utvidga det här begreppet till den andra kvadranten för än så länge har vi bara tittat i den första kvadranten. Vi utgår från cirkelns medelpunkt origo och bestämmer att cirkelns radie ska vara 1 och då får vi det som kallas för en enhetscirkel igen. Om vi nu väljer en punkt i den andra kvadranten med en radie dit. Då kan man tänka sig att radien har vridit sig en vinkel från x-axeln, hela vägen runt till punkten P. Då kan vi tänka oss att den har vridit sig vinkeln v. Om vi nu vill beskriva punkten P:s koordinater så kan vi använda oss dels av x och y och säga att koordinaterna i punkten P är (x,y).

Bild 5: Inskriven punkt (P) i den andra kvadranten med koordinaterna (x,y).

(https://www.youtube.com/watch?v=ObyLiKZ-3RU)

Men nu har vi också ett till sätt att beskriva koordinaterna i den här punkten med hjälp av vinkeln v, eftersom x-koordinaten också kan beskrivas som cosinus för vinkeln v och y-koordinaten kan beskrivas som sinus för vinkeln v, (cosv, sinv). Då har vi två olika sätt att beskriva punkterna längs den här cirkeln (Bild 5). Det här gör att vi kan bestämma värdet för vissa vinklar, alltså trigonometriska värden. Vi väljer sinus för 40^o , vi ska också titta på cosinus för 40^o och tangens för 40^o.

Bild 6: Trigonometriska värden för sin 40^o , cos 40^o och tan 40^o .

(https://www.youtube.com/watch?v=ObyLiKZ-3RU)

Vi tar hjälp av en enhetscirkel där vi bestämmer att radien ska vara 1 och då blir den en enhetscirkel eftersom vi har medelpunkten i origo. I den här enhetscirkeln ska vi hitta en vinkel som är 40^o och då väljer vi vinkeln mellan x-axeln och en radie. Vi drar radien från punkten på cirkelns rand som betecknar 40^o där vi kan se att vinkeln v är 40^o . Men samtidigt ser vi att punkten hamnar med en x-koordinat som är 0,8 och y-koordinaten för den punkten är 0,6. Det här kan vi nu utnyttja när vi bestämmer sinus för 40^o för vi har tidigare sett att x-koordinaten i koordinatsystemet längs cirkelns rand är lika med cosinus för vinkeln v.

I vårt fall så är cosinus v, cosinus 40^o för vinkeln är lika med x-koordinaten i den punkten som är 0,8. Då har vi fått ett sätt att bestämma cosinus för vinklar, och detsamma gäller för y som vi tidigare såg var sinus för vinkeln och vår vinkel ska vara 40^o .

Bild 7: Enhetscirkel med x-koordinat 0,8 och y-koordinat 0,6.

(https://www.youtube.com/watch?v=ObyLiKZ-3RU)

Så vi får sinus 40^o och då kan vi läsa av y-koordinaten i den punkten som är 0,6. När det gäller tangens för vinkeln måste vi gå tillbaka till det vi såg från början. Tangens för vinkeln i vår enhetscirkel var y / x men vi har sett att y var sinus för vinkeln och x det var cosinus för vinkeln och då har vi plötsligt knutit ihop tangens med sinus och cosinus och hittat ett samband där. Nämligen att tan v = sin v / cos v = sin 40^o / cos 40^o = 0,6 / 0,8 = 0,75 = tan 40^o (Bild 8) .

Bild 8: Sambandet tan v = sin v / cos v.

(https://www.youtube.com/watch?v=ObyLiKZ-3RU)

Nedanstående YouTube-klipp förklarar ingående enhetscirkeln.