Cirkelns ekvation

Cirkelns ekvation, hur fungerar den? Vi tänker oss att vi har en cirkel och så har vi ett koordinatsystem med x och y axel. Om vi nu vill få ut en ekvation av den här cirkeln hur gör vi då? Vi börjar med att markera ut centrum. Om vi nu tänker oss att vi har en punkt på cirkelns rand så är avståndet från centrum i cirkeln till den punkten, radien i cirkeln (Bild 1).

Bild 1: Koordinatsystem med inskriven cirkel vars radie utgör hypotenusa i en rätvinklig triangel.

(https://www.youtube.com/watch?v=sEXRsABp4X0)

Om vi nu använder något som vi borde kunna vid det här laget dvs. Pythagoras sats vilken säger att om vi har en rätvinklig triangel med sidorna hypotenusa = a, ena kateten = b och den andra kateten = c, får vi att a² = b² + c² . Nu ska vi använda oss av det.

Bild 2: Pythagoras sats.

(https://www.youtube.com/watch?v=sEXRsABp4X0)

Avståndet mellan triangelns bägge nedre hörn, vad är det för något? Om vi kallar den spetsiga vinkelns punkt i den rätvinkliga triangeln för c med koordinaterna (x₀,y₀) och punkten p i triangelns topp med koordinaterna (x,y). Då skulle skillnaden i avstånd i x-led mellan triangelns spetsiga vinkels punkt c och punkten i triangeln rätvinkliga hörn bli x - x₀. (Bild 2). Om vi tänker oss att a i vårt fall är bokstaven r² är lika vårt b² dvs. (x - x₀)² +  c² dvs. (y - y₀)² och då har vi använt oss av Pythagoras sats för att beskriva cirkelns ekvation (Bild 3).

Bild 2: Härledning av cirkelns ekvation utifrån Pythagoras sats.

(https://www.youtube.com/watch?v=sEXRsABp4X0)

Bild 3: Cirkelns ekvation.

(https://www.youtube.com/watch?v=sEXRsABp4X0)

Om vi i stället hade haft en cirkel med centrom i origo hade vi bara fått x² + y² eftersom både x₀ och y₀ hade blivit 0. Om vi tar ett exempel på en cirkel som ligger i den tredje kvadranten med radien 2 med en mittpunkt i (-2,-3) . Då sätter vi bara in det i cirkelns ekvation och får 2² = (x - (- 2))² + (y - (- 3))²  som vi kan skriva om som 4 = (x + 2)² + (y + 3)² och där har vi den specifika cirkelns ekvation.

Bild 4: Exempel på en cirkels ekvation i den 3:e kvadranten.

(https://www.youtube.com/watch?v=sEXRsABp4X0)

Nedanstående YouTube-klipp förklarar ingående cirkelns ekvation.