Ändringskvot

Vi ska straxt börja med begreppet derivata, men vägen dit går över begreppet ändringskvot, och det ska vi titta på i samband med nedanstående diagram.

Bild 1: Diagram som visar några föremål som rört sig på något sätt.

(https://www.youtube.com/watch?v=zDpqT6okoYM&feature=share&list=UUpblAe2VRIoSaXuoR2I1mGw)

Det här diagramet (bild 1) visar en linje A och en linje B och tittar vi på axlarna i det här koordinatsystemet så har vi x (sekunder) och y (meter). Så de här två linjerna kan visa någonting eller några föremål som har rört sig på något sätt. Det skulle t.ex. kunna vara två personer som springer 100 meter.

Bild 2: Exempel på två personer A och B som springer 100 meter.

(https://www.youtube.com/watch?v=zDpqT6okoYM&feature=share&list=UUpblAe2VRIoSaXuoR2I1mGw)

De startar samtidigt och de springer 100 meter, och ur det översta diagramet (bild 1) kan vi avläsa att efter 10 sekunder har båda personerna hunnit 100 meter. De kommer således i mål samtidigt. Men under loppets gång springer de inte alls på samma sätt utan där skiljer det sig. Vi börjar med att beräkna medelhastigheten för löpare A respektive B under hela loppet. Medelhastigheten får vi för A genom att ta sträckan personen rör sig 100 meter och dividera med tiden det tar, dvs 10 sekunder. Istället för s och t för sträcka respektive tid så har vi nu y och x. När person A rör sig 100 meter på 10 sekunder blir medelhastigheten 10 meter per sekund (bild 3).

Bild 3: Beräkning av medelhastigheten för person A under hela loppet.

(https://www.youtube.com/watch?v=zDpqT6okoYM&feature=share&list=UUpblAe2VRIoSaXuoR2I1mGw)

Gör vi samma beräkning för B, visar det sig att medelhastigheten även där blir 10 meter per sekund (bild 4).

Bild 4: Beräkning av medelhastigheten för person B under hela loppet.

(https://www.youtube.com/watch?v=zDpqT6okoYM&feature=share&list=UUpblAe2VRIoSaXuoR2I1mGw)

Men som vi kan se i det översta diagramet (bild 1) så har personerna rört sig på helt olika sätt. Så medelhastighet är ett ganska vagt sätt att uttrycka vad som hände under loppet. Men hastighet då, vad talar det om? Jo det talar om hur snabbt något förändras, och här så säger hastigheten i meter per sekund att personernas läge i förhållande till startlinjen ökar med 10 meter per sekund i genomsnitt, men det är genomsnitt. I det översta diagramet (bild 1) kan vi se att de första sekunderna springer person B en kortare sträcka på samma tid som personen A springer. Vill vi titta mer i detalj vad som händer under loppet så kan vi titta på medelhastigheten i ett kortare intervall eller ett annat intervall än hela loppet. Nu ska vi titta på medelhastigheten för personerna A respektive B under de sista 5 sekunderna av loppet. Om vi börjar med personen A så får vi så får vi medelhastigheten (v_m). Nu måste vi ta reda på hur långt person A sprang under de sista 5 sekunderna. Då tittar vi på de sista fem sekunderna i det översta diagramet i intervallet delta x. Under den tiden om vi tittar på personen A så måste vi ta reda på hur långt personen hann, och vi ser att efter 5 sekunder hade personen kommit 50 meter, och efter 10 sekunder hade personen nått 100 meters strecket (bild 5).

Bild 5: Delta y är förändringen i y eller läget för person A, medan delta x utgör förändring i tid (intervallets storlek).

(https://www.youtube.com/watch?v=zDpqT6okoYM&feature=share&list=UUpblAe2VRIoSaXuoR2I1mGw)

Dvs. personen har tagit sig sträckan som kallas för delta y. Delta y är ju sträckan som personen rör sig delat med tiden som går då, delta t. Delta y menas med förändringen i y eller i läget för personen A, dvs. 50 meter. Delta x är förändringen i tiden, alltså hur lång tid som går mellan de två tidpunkterna (intervallets storlek). Ett sätt att ta reda på det är att ta y₂ minus y₁, dividerat på x₂ minus x_1. Y₂ blir läget som personen befinner sig i vid tidpunkt nummer två eller vid tidpunkten 10 sekunder. Det ser vi att det är 100 meter minus y1 som är läget personen befinner sig efter 5 sekunder, dvs. 50 meter. Tiden är 10 sekunder minus 5 sekunder, och då ser vi att intervallets längd är 5 sekunder (bild 6).

Bild 6: Beräkning av medelhastigheten för person A under de 5 sista sekunderna av loppet.

(https://www.youtube.com/watch?v=zDpqT6okoYM&feature=share&list=UUpblAe2VRIoSaXuoR2I1mGw)

Beräknar vi medelhastigheten här så ser vi att den blir 10 meter per sekund, dvs. samma medelhastighet de sista 5 sekunderna som under hela loppet vilket är ungefär vad grafen i det översta diagramet också visar.

Om vi nu tittar på B och personens medelhastighet under de sista 5 sekunderna så gör vi på samma sätt, förändringen i y eller hur långt person B sprang på de här 5 sekunderna, och då gör vi samma beräkning (bild 7).

Bild 7: Beräkning av medelhastigheten för person B under de 5 sista sekunderna av loppet.

(https://www.youtube.com/watch?v=zDpqT6okoYM&feature=share&list=UUpblAe2VRIoSaXuoR2I1mGw)

Delta y dividerat med delta x, y₂ minus y₁ dividerat på x₂ minus x_1. Lägg märke till att y₂ fortfarande är 100 meter, men y₁ är nu ungefär 25 meter. Intervallets längd är fortfarande 5 sekunder eller 10 sekunder minus 5 sekunder. Men i det här fallet ser vi att medelhastigheten för personen B, i intervallet från 5 sekunder till 10 sekunder är högre än den var för person A i sama intervall. Då kan man ju tänka sig att eftersom det går fortare på slutet så borde det finnas en punkt på kurvan B eller ett läge där hastigheten för person A och B var lika stor, men det kommer vi komma till senare. Men för att ta oss dit måste vi titta på begreppet sekant. Vad är då det? Jo då tittar vi på den här grafen igen (bild 8).

Bild 8: En linje som skär en kurva i två punkter kallas för en sekant.

(https://www.youtube.com/watch?v=zDpqT6okoYM&feature=share&list=UUpblAe2VRIoSaXuoR2I1mGw)

Bild 9: Ändringskvot mellan två punkter på kurvan B bestämmer sekantens k-värde (linjens lutning).

(https://www.youtube.com/watch?v=zDpqT6okoYM&feature=share&list=UUpblAe2VRIoSaXuoR2I1mGw)

Vi hade tiden och vi hade läget. När det gäller personen A så rörde den sig på det här sättet som vi ser här. Vi tittade på det som kallas delta y genom delta x, och vad är det för någonting (bild 9)? Jo det är ju precis det som vi har kallat för lutningen hos den här linjen förut eller k-värdet. Så det vi bestämmer när vi sätter upp den här kvoten som kallas för en ändringskvot på grund av att vi har en förändring i y mellan två lägen, och förändring i x mellan två lägen. Alltså förändras både x och y, och vi ställer upp en kvot som vi kallar för en ändringskvot. Den här ändringskvoten är också lutningen för den här linjen k, linjen A. Ibland kallar man det också för förändringskvot, och ibland kan man också se att det kallas för en differenskvot på grund av att det är en differens inblandat. Men om den här ändringskvoten är linjens lutning för linjen A kan man fråga sig vad vi får när vi beräknar ändringskvoten för linjen B? Då gjorde vi nämligen på samma sätt. Om vi tog två punkter på kurvan B och ställ de upp ändringskvoten delta y genom delta x för de här två punkterna, så tog vi det som y₂ minus y₁ dividerat på x₂ minus x₁, och vad är det vi får fram då egentligen?

Jo då får vi också fram en lutning, nämligen lutningen för den linje som skär kurvan B i de här två punkterna. En linje som skär en kurva i två punkter kallas för en sekant. Sekant kommer från latinets secare som betyder skära. Så den här sekanten skär kurvan B i två punkter, och ställer vi då upp ändringskvoten som vi gjorde för person B tidigare när vi beräknade medelhastigheten (bild 7) mellan de här två punkterna, då bestämmer vi sekantens k-värde dvs. k-värdet för den här linjen (bild 8) mellan de två punkterna. Om den här kurvan nu är en funktion av x, dvs. y = f(x), så kan vi också skriva ändringskvoten eller lutningen för linjen på ett lite annorlunda sätt. Om vi börjar med y₂, vilket är y-värdet när vi har x = 2. Hur får man då fram y₂? Jo det får man genom att sätta in x₂ i funktionen som vi inte vet hur den ser ut än. På motsvarande sätt kan vi göra för att ta reda på x₁ och y_1, dvs. y₁ får vi genom att sätta in x₁ i funktionen, då får vi reda på y₁, och det delar vi med x₂ minus x₁.

Nedanstående YouTube-klipp förklarar ingående ändringskvot.