Konjugatregeln

Nu ska vi titta på det som kallas konjugatregeln. För vissa binommultiplikationer så kan man hitta mönster. Om vi multiplicerar nedanstående parenteser (bild 1) så kan vi lägga märke till att de ser ganska lika ut. Det är samma tal och variabler men det finns ett minus tecken i den första parentesen och ett plustecken i den andra parentesen. I övrigt ser de väldigt lika ut de här parenteserna.

Bild 1: Konjugatregeln är en binommultiplikation med ett visst mönster.

(https://www.youtube.com/watch?v=2nWTYbyYFeI&feature=player_embedded)

När vi multiplicerar parenteserna (bild 2) så gör vi som vanligt och tar den första termen i den första parentesen och multiplicerar med båda termerna i den andra. Då får vi till att börja med 2 gånger 2 som är 4, och x gånger x som är x upphöjt i två, dvs. 4x^2. Sedan får vi 2x gånger 3 och de är båda positiva så vi skriver plus. 2 gånger 3 är 6 och x:et hänger med till 6x. Sedan har vi - 3 gånger + 2, men då är det ett minustecken gånger ett plustecken så vi får minus och 3 gånger 2 är 6, och x:et hänger med till - 6x. Slutligen har vi - 3 gånger + 3 och minus gånger plus är minus, och vi får 3 gånger 3 som är 9, dvs. - 9.

Bild 2: Multiplikation av parenteserna.

(https://www.youtube.com/watch?v=2nWTYbyYFeI&feature=player_embedded)

Nu gör vi som vanligt att vi försöker samla ihop alla termer som innehåller samma grad på variabeln (bild 3) . Vi har bara en x² term så vi får 4x² men vi har två termer nu som innehåller x. Plustecknet hör ihop med termen som kommer och då har vi + 6x - 6x och då tar de ut varandra, så det enda vi får kvar här är - 9.

Bild 3: Termer som innehåller samma grad samlas ihop och adderas eller elimineras om tecknen är olika.

(https://www.youtube.com/watch?v=2nWTYbyYFeI&feature=player_embedded)

Det vi gör nu är att vi letar efter ett speciellt mönster, så nu tar vi ett till binom (bild 4). ( x - 4) multiplicerat med ett liknande binom men nu istället ( x + 4). Lägg märke till att de här två binommultiplikationerna har liknande struktur, parenteserna ser likadana ut förutom att det är minus i den ena och plus i den andra.

Bild 4: Exempel på ytterligare ett biom som multipliceras enligt konjugatregelns mönster.

(https://www.youtube.com/watch?v=2nWTYbyYFeI&feature=player_embedded)

När vi utför den här multiplikationen så gör vi på samma sätt x gånger x ger x2, x gånger + 4 som blir 4x, - 4 gånger x är - 4x, och minus gånger plus i den sista multiplikationen är minus, och 4 gånger 4 är 16. Nu händer precis samma sak när vi förenklar, x2-termen har vi bara en av, men termerna som innehåller x kommer återigen att ta ut varandra. Konstanten är dock kvar vilket gör att vi får - 16 där. Nu händer precis samma sak igen, dvs. termen som innehåller x försvinner (bild 5).

Bild 5: Termer som innehåller samma grad samlas ihop och adderas eller elimineras om tecknen är olika.

(https://www.youtube.com/watch?v=2nWTYbyYFeI&feature=player_embedded)

Det här nu kan man sammanfatta och skriva att om vi har två binom som ser likadana ut (a - b) och (a + b), a är vilket tal som helst som kan innehålla en variabel. Om vi har ett binom som ser likadant ut som ett annat binom vi ska multiplicera med den skillnaden att det är minus i den ena och plus i den andra, så kan vi direkt skriva att produkten då blir a gånger a, dvs. a^2. Sedan hade vi i båda de tidigare förklaringarna två minustecken, och det får vi även här när vi skriver generellt. Det andra talet i de båda tidigare fallen är faktiskt de två sista talen i binomen multiplicerat med varandra. 3 gånger 3 är 9, och 4 gånger 4 är 16. Så allmänt skriver vi då att vi tar de två sista talen här som är b gånger b, dvs. b². Den här regeln kallas just för konjugatregeln och har två binom som ser likadana ut men minus i den ena parentesen och plus i den andra. Det här fungerar också om vi har plustecknet först, alltså (a + b)(a - b). Även då är produkten a2 - b2. Det är inte så konstigt eftersom multiplikation är kommutativ, dvs. den är omvändbar. Det vet vi t.ex. eftersom 2 gånger 3 är lika med 3 gånger 2. Vi ska ta ett exempel (bild 6). Om vi har (5a2 - b)(5a2 + b) lägger vi direkt märke till att de ser likadana ut men att det är minus tecken i den ena och plus i den andra.

Bild: Exempel på två andragradstermer som multipliceras enligt konjugatregelns mönster.

(https://www.youtube.com/watch?v=2nWTYbyYFeI&feature=player_embedded)

Då kan vi använda konjugatregeln som säger att vi tar de två första termerna i varje parentes och multiplicerar med varandra, alltså 5a² gånger 5a², och sedan minus innan vi tar de andra termerna i parenteserna som här också är b. b gånger b är b². Så kvar får vi 5 gånger 5 som är 25 och a² gånger a² är a⁴ ger således 25a⁴ - b². Det här kan man använda vid visa multiplikationer, t.ex. 52 gånger 48. Det här kan man skriva om som (50 + 2) gånger (50 - 2). Nu kan vi använda konjugatregeln som säger att de två första termerna som är 50 gånger 50 lika med 2500 minus de två andra termerna multiplicerade med varandra som är -4, vilket blir 2496.

Nedanstående YouTube-klipp förklarar ingående konjugatregeln.