Substitutionsmetoden

Substitutionsmetoden var ett stiligt sätt att lösa vissa typer av ekvationer genom att använda gamla metoder. I det här fallet ska vi använda oss av pq-formeln. Men vi ser direkt att här står inte x² utan x⁴ . Men då kan vi ersätta eller substituera variabeln x² med en ny variabel som vi här har kallat t (bild 1).

Bild 1: Substitution med variabeln t.

https://www.youtube.com/watch?v=HLabU6yEnFc

Då kommer t² att bli lika med x⁴ . Det här gör att vi nu kan ersätta x⁴ och x² med de nya variablerna t och t² . Vi såg att x⁴ är lika med t² (bild 2).

Bild 2: Ersättning av x-variablerna med de nya t-variablerna.

https://www.youtube.com/watch?v=HLabU6yEnFc

Det ger oss nu (bild 3):

Bild 3: Andragradsekvationen med de nya t-variablerna i stället.

https://www.youtube.com/watch?v=HLabU6yEnFc

Då kan vi använda oss av pq-formeln (bild 4) som i det här fallet säger oss att t, inte x, utan t lika med - (- 8) / 2 +/- roten ur -8 delat på 2 i kvadrat, - (- 9,) och alltihopa ska vara under rottecknet. Utför vi förenklingen kommer vi att landa på att t är lika med 4 +/- 5. Det gör att vi får två lösningar vad t är. Den första lösningen t₁ är lika med 4 + 5 spm är lika med 9. Den andra lösningen blir att t är lika med 4 - 5 som är lika med - 1, och då har vi löst andragradsfunktionen med de nya t-variablerna (bild 4). Men vi har fortfarande inte löst ursprungs ekvationen, där vi ville veta vad x var? För at göra det får vi nu ersätta variabeln t med x² . Om vi börjar med den första lösningen som sade att t är lika med 9. Om vi nu ersätter t med x² så får vi reda på att talet x som vi letar efter i kvadrat är lika med 9. Nu kan vi använda oss av kvadratrotsmetoden som säger att talet x måste vara lika med +/- roten ur 9, dvs. + eller - 3. Då har vi en lösning till ursprungsekvationen.

Bild 4: Lösning av andragradsekvationen.

https://www.youtube.com/watch?v=HLabU6yEnFc

Bild 5: De två första lösningarna till x är lika med +/- 3.

https://www.youtube.com/watch?v=HLabU6yEnFc

Det andra alternativet var att t är lika med - 1. Gör vi nu samma ersättning som vi gjorde tidigare så får vi att x² är lika med - 1. Kvadratrotsmetoden säger att då är x lika med +/- roten ur - 1. Då säger vi att den här ekvationen saknar reella lösningar. Däremot har vi tidigare sett att roten ur - 1 kan skrivas med det komplexa talet i. Så det vi landar i är att ursprungsekvationen har fyra lösningar, dvs. x₁ är lika med 3, x₂ är lika med - 3, vi har också lösningen x₃ som är lika med i, och vi har också lösningen x₄ som är lika med - i (bild 6).

Bild 6: Lösningarna till x-variabeln -1 till de komplexa talen +/- i.

https://www.youtube.com/watch?v=HLabU6yEnFc

Så fjärdegradsekvationer har 4 lösningar (bild 7).

Bild 7: Samtliga fyra lösningar till den ursprungliga andragradsekvationen.

https://www.youtube.com/watch?v=HLabU6yEnFc

Efter att ha tittat på det ovanstående YouTube-klippet, försöker du göra följande uppgifter på s. 19, 21 i boken:

• 1178
• 1179
• 1180
• 1181
• 1182
• 1183
• 1184

Under den kommande lektionen analyserar och diskuterar vi tillsammans ingående de utvalda uppgifterna och utifrån de sju matematiska förmågorna hjälps vi åt att komma fram till dess lösningar.